Структурные характеристики малой группы зафиксированных частиц и максимальная плотность случайной упаковки жестких сфер

А. Б. Шубин.

АННОТАЦИЯ

Рассмотрено определение случайных упаковок жестких сфер, не предполагающее каких-либо специфических особенностей ближнего порядка. Полученные результаты позволяют (в частности) определить максимально возможную плотность случайной упаковки, в которой отсутствуют какие-либо виды явного или скрытого дальнего порядка. Представлены новые данные компьютерных экспериментов, описывающие статистико-геометрические свойства случайных упаковок двухмерных (2D) и трехмерных (3D) жестких сферических частиц. Исследованы закономерности поведения малой группы случайно выбранных и зафиксированных сфер при разных плотностях упаковки, различия между свойствами этой группы и основного «большого» ансамбля, которые следуют, в том числе, из полученных теоретических результатов. Найденные экспериментально закономерности согласуются с предложенным теоретическим решением.

Пусть ансамбль состоит из N частиц, занимающих общий объем V (при плотности упаковки η = Nu/V, где u – объем одной частицы). Максимально возможная плотность случайной упаковки сферических частиц (η_max) задается следующим геометрическим условием: средний объем многогранника Вороного в случайной плотной упаковке не может быть меньше, чем среднее значение исключенного объема для всех точек этой упаковки.

Для произвольной точки ансамбля, лежащей на расстоянии x от ближайшего к ней центра сферы (единичного радиуса, R=1), исключенный объем (w) определяется следующими соотношениями. В двухмерном пространстве: w(x) = p(2 – x)² при 0 ≤ x ≤ 2; w(x) = 0 при x > 2. В трехмерном пространстве: w(x) = (4p/3) (2 – x)³ при 0 ≤ x ≤ 2; w(x) = 0 при x > 2. Усредняя w(x) для всех точек объема ансамбля частиц, можно найти средний исключенный объем <w> для данной плотности упаковки (h).

Можно сформулировать также следующее положение, вытекающее из описанного выше условия: если плотность упаковки η превышает η_max, то такая упаковка не может быть статистически однородной (гомогенной).

Использованный в работе подход позволяет вычислить максимально возможное значение (верхнюю границу) для плотности случайной плотной упаковки. Эта величина составляет η_max = 0.6813 ± 0.001 (в двухмерном случае ансамбля жестких дисков) и η_max = 0.6329 ± 0.0005 (для трехмерного ансамбля жестких сфер).

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА:

случайная плотная упаковка, средний исключенный объем, жесткие сферы, жесткие диски, максимальная плотность, фиксированная частица, малая группа, случайная подрешетка

DOI: 10.31857/S0235010620050126